java语言，背包问题，从Excel表中读取数据

基本概念

问题雏形

01背包题目的雏形是：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得

for (i = 1; i <= n; i++)

for (j = v; j >= c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);

问题描述

求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的体积值均为整数。

算法分析

对于背包问题，通常的处理方法是搜索。

用递归来完成搜索，算法设计如下：

int make(int i, int j)//处理到第i件物品,剩余的空间为j 初始时i=m , j=背包总容量

{

if (i == 0) return 0;

if (j >= c[i])//(背包剩余空间可以放下物品 i )

{

int r1 = make(i - 1, j - w[i]);//第i件物品放入所能得到的价值

int r2 = make(i - 1, j);//第i件物品不放所能得到的价值

return min(r1, r2);

}

return make(i - 1, j);//放不下物品 i

}

这个算法的时间复杂度是O(n^2)，我们可以做一些简单的优化。

由于本题中的所有物品的体积均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。这是简单的“以空间换时间”。

我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。

同时，可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。

解决方案

考虑用动态规划的方法来解决，这里的：

阶段：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中

状态：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值

决策：第N件物品放或者不放

由此可以写出动态转移方程：

我们用f[i][j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在已用空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

f[i][j] = max(f[i - 1][j - W[i]] + P[i], f[i - 1][j]);//j >= W[ i ]

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入已用的容量为c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w]

算法设计如下：

int main()

{

cin >> n >> v;

for (int i = 1; i <= n; i++)

cin >> c[i];//价值

for (int i = 1; i <= n; i++)

cin >> w[i];//体积

for (int i = 1; i <= n; i++)

f[i][0] = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++)

for (int j = 1; j <= v; j++)

if (j >= w[i])//背包容量够大

f[i][j] = max(f[i - 1][j - w[i]] + c[i], f[i - 1][j]);

else//背包容量不足

f[i][j] = f[i - 1][j];

cout << f[n][v] << endl;

return 0;

}

由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是O（n*w)。而用搜索的时候，当出现最坏的情况，也就是所有的结点都没有重叠，那么它的时间复杂度是O（2^n)。看上去前者要快很多。但是，可以发现在搜索中计算过的结点在动态规划中也全都要计算，而且这里算得更多（有一些在最后没有派上用场的结点我们也必须计算），在这一点上好像是矛盾的。